segunda-feira, 3 de dezembro de 2012

A determinação do angulo entre duas valências na molécula de Metano: Uma aplicação da Geometria Vetorial.



As moléculas são constituídas  por dois ou mais átomos  ligados de forma covalente. A disposição espacial dos núcleos dos átomos determina as diferentes formas geométricas para as moléculas (USBERCO; SALVADOR,2002). Na geometria da molécula do metano (CH4), podemos imaginar que o átomo de Carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio.
Com o uso da geometria analítica é possível determinar o ângulo entre duas das valências do carbono. O resultado deste problema é uma medida bastante nos cursos de química orgânica e molecular.

A figura 1 abaixo representa a geometria molecular do Metano (CH4).


Figura 1: Geometria Molecular do Metano. Fonte:  (USBERCO; SALVADOR, 2002)


Iremos apresentar um método para determinar matematicamente o ângulo aproximado entre duas valências do Metano. Para isso, vamos supor um sistema de coordenadas no espaço, consideremos inicialmente um cubo de aresta com valor arbitrário a (para facilitar) com um vértice na origem, outro no eixo x, outro no eixo y e outro no eixo z. Assim, podemos escolher quatro vértices desse cubo que formem um tetraedro regular conforme a figura 2:

Figura 2: Representação da molécula de metano no espaço.
Escolhidos os vértices B(0,0,0), D(a, a, 0), E(a, 0, a) e G(0, a, a), esses pontos formam um tetraedro regular (uma vez que as distâncias entre dois quaisquer deles são diagonais da aces do cubo) e são ocupados pelos hidrogênios. O átomo de Carbono será localizado no centro do cubo I (a/2, a/2, a/2).

Escrevemos os vetores:
v=IG=(-a/2, a/2, a/2);
u=ID=(a/2, a/2, -a/2).

Para determinar o ângulo entre as valências, basta usar a formula do produto escalar entre os vetores u e v. O ângulo entre os vetores será o ângulo entre as valências.
O cosseno do ângulo entre eles é:
cos Ө = (v.u)/(|v|.|u|)     (1)

Temos que:
v.u= -a2/4

|v|=(a√3)/2

|u|=(a√3)/2


Substituindo os valores na equação 1:

cos Ө = -1/3

Com uma calculadora, determinamos um valor aproximado para esse ângulo: Ө =109°28'.

Referências:

CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Analítica: Um tratamento vetorial. 3. ed.  São Paulo:  Prentice Hall,  2008.

USBERCO, J.; SALVADOR, E. Química. Volume Único. — 5. ed. São Paulo : Saraiva, 2002.



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Livros Indicados Para Leitura:

  • Titulo: Os 10 mais belos Experimentos Cientificos. Autor: Robert P. Crease. Resumo: Em sua coluna na revista norte-americana 'Physics World', o filósofo e historiador da ciência Robert Crease fez uma votação entre seus leitores perguntando quais seriam os maiores experimentos do mundo. O resultado está nessa magnífica jornada, que percorre 2.500 anos de progresso na ciência, revelando os grandes experimentos que nos permitiram conhecer a realidade do nosso planeta. Ao longo do caminho vemos, entre outros, Eratóstenes, no século III a.C, medir pela primeira vez a circunferência da Terra. Encontramos Galileu Galilei calculando a velocidade de queda dos corpos. E conhecemos o pêndulo montado por Foucault, no século XIX.