A determinação do angulo entre duas valências na molécula de Metano: Uma aplicação da Geometria Vetorial.

As moléculas são constituídas  por dois ou mais átomos  ligados de forma covalente. A disposição espacial dos núcleos dos átomos determina as diferentes formas geométricas para as moléculas (USBERCO; SALVADOR,2002). Na geometria da molécula do metano (CH₄), podemos imaginar que o átomo de Carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio.

Com o uso da geometria analítica é possível determinar o ângulo entre duas das valências do carbono. O resultado deste problema é uma medida bastante nos cursos de química orgânica e molecular.

A figura 1 abaixo representa a geometria molecular do Metano (CH₄).

Figura 1: Geometria Molecular do Metano. Fonte:  (USBERCO; SALVADOR, 2002)

Iremos apresentar um método para determinar matematicamente o ângulo aproximado entre duas valências do Metano. Para isso, vamos supor um sistema de coordenadas no espaço, consideremos inicialmente um cubo de aresta com valor arbitrário a (para facilitar) com um vértice na origem, outro no eixo x, outro no eixo y e outro no eixo z. Assim, podemos escolher quatro vértices desse cubo que formem um tetraedro regular conforme a figura 2:

Figura 2: Representação da molécula de metano no espaço.

Escolhidos os vértices B(0,0,0), D(a, a, 0), E(a, 0, a) e G(0, a, a), esses pontos formam um tetraedro regular (uma vez que as distâncias entre dois quaisquer deles são diagonais da aces do cubo) e são ocupados pelos hidrogênios. O átomo de Carbono será localizado no centro do cubo I (a/2, a/2, a/2).

Escrevemos os vetores:

v=IG=(-a/2, a/2, a/2);

u=ID=(a/2, a/2, -a/2).

Para determinar o ângulo entre as valências, basta usar a formula do produto escalar entre os vetores u e v. O ângulo entre os vetores será o ângulo entre as valências.

O cosseno do ângulo entre eles é:

cos Ө = (v.u)/(|v|.|u|)     (1)

Temos que:

v.u= -a²/4

|v|=(a√3)/2

|u|=(a√3)/2

Substituindo os valores na equação 1:

cos Ө = -1/3

Com uma calculadora, determinamos um valor aproximado para esse ângulo: Ө =109°28'.

Referências:

CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Analítica: Um tratamento vetorial. 3. ed.  São Paulo:  Prentice Hall,  2008.

USBERCO, J.; SALVADOR, E. Química. Volume Único. — 5. ed. São Paulo : Saraiva, 2002.